«Όλοι οι αριθμοί είναι ενδιαφέροντες, μερικοί όμως είναι πιο ενδιαφέροντες από τους άλλους και το π είναι ο πιο ενδιαφέρων από όλους» λέει ο Ιαν Στιούαρτ, καθηγητής των Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Γουόρικ.

Ο αριθμός Π

Η μαθηματική σταθερά π είναι ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του στην Ευκλείδεια γεωμετρία, και ο οποίος χρησιμοποιείται πολύ συχνά στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανολογία. Ο συμβολισμός προέρχεται από το αρχικό γράμμα «π» (πι) της λέξης «περιφέρεια», και έχει καθιερωθεί διεθνώς, ενώ στο λατινικό αλφάβητο συμβολίζεται ως Pi, όταν δεν είναι διαθέσιμοι τυπογραφικά ελληνικοί χαρακτήρες. Το π είναι γνωστό επίσης ως σταθερά του Αρχιμήδη.

Στην Ευκλείδεια επιπεδομετρία, το π μπορεί να οριστεί είτε ως ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του, είτε ως ο λόγος του εμβαδού ενός κύκλου προς το εμβαδόν του τετραγώνου που έχει πλευρά ίση με την ακτίνα του κύκλου. Τα εγχειρίδια ανώτερων μαθηματικών ορίζουν το π αναλυτικά χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις, για παράδειγμα ως το μικρότερο θετικό x για το οποίο ισχύει ημ(x) = 0, ή ως δύο φορές το μικρότερο θετικό x για το οποίο ισχύει συν(x) = 0. Όλοι αυτοί οι ορισμοί είναι ισοδύναμοι.

Το περίεργο είναι ότι το π είναι ταυτοχρόνως άρρητος και υπερβατικός αριθμός. Άρρητος επειδή δεν μπορεί να εκφραστεί ως ο λόγος δύο ακέραιων αριθμών και υπερβατικός επειδή αποτελεί τη ζωντανή απόδειξη ότι δεν μπορούμε να τετραγωνίσουμε τον κύκλο. Το 1761 ο Γιόχαν Λάμπερτ απέδειξε ότι το π είναι άρρητος αριθμός. Με απλά λόγια αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα δύο ακέραιων αριθμών. Η δεύτερη μεγάλη ανακάλυψη σημειώθηκε το 1882, όταν ο Φέρντιναντ φον Λίντεμαν απέδειξε ότι το π είχε μία ακόμη ασυνήθιστη ιδιότητα: ήταν υπερβατικός αριθμός. Στη μαθηματική ορολογία αυτό σημαίνει ότι δεν αποτελεί τη ρίζα καμιάς αλγεβρικής εξίσωσης με ρητούς συντελεστές. Στη μη μαθηματική ορολογία αυτό σημαίνει ότι το π αποτελεί την απόδειξη του παλαιού ρητού ότι δεν μπορεί κανείς να τετραγωνίσει τον κύκλο. Δεν μπορεί δηλαδή κανείς, χρησιμοποιώντας μόνο έναν κανόνα και έναν διαβήτη, να φτιάξει ένα τετράγωνο που να έχει ακριβώς το ίδιο εμβαδόν με έναν δεδομένο κύκλο.

Η επέκταση του π στο άπειρο έχει επίσης επανειλημμένως προσελκύσει το ενδιαφέρον των συγγραφέων επιστημονικής φαντασίας. Ο σπουδαίος αμερικανός αστρονόμος Καρλ Σαγκάν στο βιβλίο του «Επαφή» έκρυψε την υπογραφή των εξωγήινων μέσα στα δήθεν τυχαία ψηφία του π, τα οποία στην πραγματικότητα δεν ακολουθούν κάποια συγκεκριμένη διάταξη. «Ήταν πολύ πονηρό, γιατί αυτό δεν γίνεται» λέει ο καθηγητής Στιούαρτ. «Δεν μπορείς να τακτοποιήσεις το π σε συγκεκριμένη διάταξη. Ήταν ένα ωραίο απατηλό τέχνασμα εκ μέρους του Σαγκάν. Υπό μίαν έννοια ούτε ο ίδιος ο Θεός δεν θα μπορούσε να βρει μια διάταξη μέσα στο π».

Το π και ο Αρχιμήδης

Εκείνος όμως ο οποίος θεωρείται ότι ήταν ο πρώτος που προσέγγισε τον υπολογισμό π σε μια πιο θεωρητική βάση ήταν ο Αρχιμήδης, γι' αυτό και το π είναι γνωστό και ως σταθερά του Αρχιμήδη. Αυτός καθόρισε την πρώτη επιστημονικά αποδεδειγμένη μέθοδο με την οποία υπολογίζεται ο αριθμός.

Ξεκινώντας από ένα εγγεγραμμένο και ένα περιγεγραμμένο εξάγωνο, και διπλασιάζοντας τις πλευρές τους 4 φορές κατέληξε σε δύο 96-γωνα (6Χ24 = 96) και υπολόγισε τις περιμέτρους τους. Με αυτό τον τρόπο βρήκε για το π την τιμή 3,1419 που διαφέρει μόνο κατά τρία δεκάκις χιλιοστά από την πραγματική τιμή του π.

Στο (διασωθέν) έργο του “Κύκλου Μέτρησις” και στην πρόταση 3, ο Αρχιμήδης αναφέρει: «Παντός κύκλου η περίμετρος της διαμέτρου εστί και έτι υπερέχει ελάσσονι μεν ή εβδόμω μέρει της διαμέτρου, μείζονι δε ή δέκα εβδομηκοστομόνοις». Δηλαδή το πάνω και το κάτω όριο του π είναι το 3 + 1/7 = 22/7 και το 3 + 10/71 = 223/71. Ή διαφορετικά (σε δεκαδική μορφή): 3,140845 <π <3,142857.

Υπολογίζοντας λοιπόν τον “μέσο όρο” των δύο αυτών τιμών παίρνουμε για το π την τιμή 3,1419 που προαναφέρθηκε. Να πούμε εδώ ότι υπάρχει μια ιστορική διαμάχη για το κατά πόσο ο ίδιος ο Αρχιμήδης ή ο κατά 30 χρόνια νεώτερος Απολλώνιος ο Περγαίος υπολόγισαν το κατώτερο όριο του π, βασιζόμενοι στο έργο “Κύκλου Μέτρησις”.

Τα ψηφία του π

Τα πρώτα 50 δεκαδικά ψηφία του π είναι:

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

Μολονότι η ακρίβεια αυτή είναι παραπάνω από επαρκής για πρακτικούς σκοπούς στη μηχανολογία και την επιστήμη, η ακριβής τιμή του π περιλαμβάνει άπειρα δεκαδικά ψηφία (που επιπλέον δεν επαναλαμβάνονται ποτέ με την ίδια σειρά). Κατά τους λίγους τελευταίους αιώνες, έχουν καταβληθεί μεγάλες προσπάθειες για τον υπολογισμό όλο και περισσότερων ψηφίων του π και τη διερεύνηση των ιδιοτήτων του αριθμού αυτού. Παρά τον όγκο της αναλυτικής εργασίας, σε συνδυασμό με τη χρήση υπερυπολογιστών σε υπολογισμούς που έχουν προσδιορίσει πάνω από 1 τρισεκατομμύριο ψηφία του π, δεν βρέθηκε ποτέ κάποια αναγνωρίσιμη διάταξη στα ψηφία του. Ψηφία του π είναι διαθέσιμα από μια πληθώρα πηγών στο Διαδίκτυο, και ένας κοινός προσωπικός υπολογιστής μπορεί να υπολογίσει δισεκατομμύρια ψηφία του π μέσω διαθέσιμου λογισμικού.

Πολλές ιστοσελίδες δίνουν το π με πολλά δεκαδικά ψηφία. Και ενώ τα δεκαδικά του π έχουν υπολογιστεί σε περισσότερα από πέντε τρισεκατομμύρια (5*1012) σε πρακτικές εφαρμογές κανένας δεν χρειάζεται περισσότερα από μια ντουζίνα. Παραδείγματος χάριν με 11 δεκαδικά ψηφία του π μπορεί κάποιος να υπολογίσει ένα κύκλο που θα χωράει μέσα του την Γη και το λάθος θα είναι λιγότερο από 1 χιλιοστό. Με 39 δεκαδικά μπορεί να υπολογιστεί κύκλος που θα χωράει μέσα του όλο το ορατό σύμπαν και το λάθος θα είναι όσο η ακτίνα του ατόμου του υδρογόνου.

Η αναζήτηση των ψηφίων του π

Η κομψότητα της φύσης του π συνοψίζεται όμως στις τόσες προσπάθειες που έχουν γίνει και εξακολουθούν να γίνονται για τη συμπλήρωση των αριθμών του. Η επίμονη αναζήτηση ξεκίνησε ίσως με τον γερμανό μαθηματικό Λούντολφ βαν Τσόι-λεν, ο οποίος γύρω στο 1600 υπολόγισε τα πρώτα 35 δεκαδικά ψηφία του π. Ήταν τόσο υπερήφανος γι αυτό το έργο, στο οποίο αφιέρωσε μεγάλο μέρος της ζωής του, που ζήτησε να γράψουν τα 35 ψηφία στην επιτύμβια στήλη του. Εξίσου επίμονος, ο Γουίλιαμ Σανκς αφιέρωσε από την πλευρά του 20 χρόνια στους υπολογισμούς προχωρώντας το π στα 707 δεκαδικά ψηφία. Δυστυχώς το επίτευγμα του υπέστη τεράστιο πλήγμα όταν οι πρώτο ψηφιακοί υπολογιστές ανακάλυψαν ότι είχε κάνει λάθος στο 528ο δεκαδικό ψηφίο, αχρηστεύοντας όλα τα επόμενα. Από τότε αμέτρητοι είναι οι μαθηματικοί που αφιέρωσαν χρόνο και κόπο στην εξεύρεση ενός ακόμα ψηφίου του π.

Απομνημόνευση των ψηφίων του π

Για την απομνημόνευση των πρώτων λίγων δεκαδικών ψηφίων του αριθμού π έχουν επινοηθεί διάφοροι μνημονικοί κανόνες, ανάμεσά τους και η παρακάτω φράση, με την οποία μπορεί να θυμάται κανείς τα πρώτα 23 ψηφία του π:

Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον, καί όν, φεύ, ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι.

Το πλήθος των γραμμάτων κάθε λέξης της φράσης αυτής αντιστοιχεί σε καθένα από τα διαδοχικά ψηφία του αριθμού π≈3.1415926535897932384626.

Για την Ιστορία : Οι 6 πρώτες λέξεις του παραπάνω επιγράμματος (Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί) αποδίδονται στον Πλάτωνα, ενώ τις υπόλοιπες 17 συνέταξε, αριστοτεχνικά, ο Νικόλαος Ι. Χατζηδάκης (1872 – 1942). Ο Ν. Χατζηδάκης, γιός του διακεκριμένου Καθηγητή του Πανεπιστημίου Αθηνών Ιωάννη Χατζηδάκη, ήταν επίσης διακεκριμένος Καθηγητής Μαθηματικών του Π.Α. (κυρίως στον τομέα της Διαφορικής Γεωμετρίας), αλλά και λογοτέχνης (με το ψευδώνυμο "Ζέφυρος βραδινός") με καταγωγή από το χωριό Μύρθιο στα νότια του Ν. Ρεθύμνης.

Παγκόσμια Ημέρα της Σταθεράς π

Η «Παγκόσμια Ημέρα της Σταθεράς π» απευθύνεται αποκλειστικά σε μαθηματικούς . Είναι η μέρα γενεθλίων της μαθηματικής σταθεράς π [ισούται με 3,14]. Στο εξωτερικό η ημέρα ονομάζεται "Pi Day" και γιορτάζεται κάθε χρόνο στις 14 Μαρτίου, δηλαδή στις 14/3 [κατά τους Αμερικανούς, 3/14].

Τα πρώτα οκτώ ψηφία του αριθμού είναι ως γνωστόν 3,1415926, δηλαδή 14 Μαρτίου, 01:59:26 το πρωί, ή όπως αλλιώς ονομάζεται "Pi second"! Η "Pi Day" γιορτάστηκε για πρώτη φορά στο Exploratorium του San Francisco το 1988 με το κοινό και τους υπαλλήλους του μουσείου επιστημών να σχηματίζουν κύκλους περπατώντας!

Ο πατέρας της ξεχωριστής αυτής μέρας είναι ο Larry Shaw –άλλοι τον ονομάζουν "Prince of Pi"- που έχει αποσυρθεί από την ενεργό δράση και το Exploratorium.

"Pi the movie" πρόκειται για μια ταινία που αναφέρεται στην ζωή μιας μαθηματικής ιδιοφυΐας του Maximillian Cohen, επίσης γνωστή ως π ή Πίστη στο Χάος. Είναι ένα ψυχολογικό θρίλερ αμερικανικής παραγωγής του 1998 σε σκηνοθεσία Ντάρεν Αρονόφσκι (Darren Oronowski), που κέρδισε το Βραβείο Σκηνοθεσίας στο Φεστιβάλ Κινηματογράφου του Σάντανς 1998, η Independent Spirit Award Καλύτερου Σεναρίου και το Πρώτο Gotham Open Palm Award . Ο τίτλος αναφέρεται στη μαθηματική σταθερά π (Pi).

Ο Μαξ, ιδιοφυία στα μαθηματικά, ζει απομονωμένος στο μικρό διαμέρισμά του στη Νέα Υόρκη. Με τον αυτοσχέδιας κατασκευής υπολογιστή του -που έχει το ελληνικότατο όνομα Ευκλείδης- παλεύει να βρει το μαθηματικό πρότυπο πάνω στο οποίο βασίζεται η χρηματιστηριακή αγορά. Η ερευνά του δεν έχει σκοπό το κέρδος αλλά την ανακάλυψη μιας βαθύτερης αλήθειας και νομοτέλειας. Ο Μαξ πιστεύει ότι η γλώσσα της φύσης είναι τα μαθηματικά, ότι όλα μπορούν να εκφραστούν και να εξηγηθούν με αριθμούς και πάνω από όλα είναι έτοιμος να φτάσει μέχρι την “τρέλα” προκειμένου να λύσει το αίνιγμα. Άλλωστε, όπως ο ίδιος διηγείται όταν ήταν έξι χρονών αγνόησε τη συμβουλή της μητέρας του και κοίταξε τον ήλιο κατάματα με αποτέλεσμα να τυφλωθεί προσωρινά. Στην αναζήτηση θα εμπλακούν μια εταιρία που για ευνόητους λόγους αναζητεί μια φόρμουλα πρόβλεψης των τιμών στο χρηματιστήριο και μια οργάνωση φανατικών Εβραίων (Χασιδικοί) που πιστεύει ότι το μυστικό του θεού βρίσκεται σε μια λέξη με 216 γράμματα-αριθμούς. (Ξέρετε, πάντα η επιστήμη βρισκόταν κάτω από την πίεση οικονομίας και θρησκείας... ) Όλοι οι εμπλεκόμενοι στην ιστορία έχουν την αυταπάτη ότι η αλήθεια ενός τόσο σύνθετου κόσμου μπορεί να βρίσκεται στην καρδιά ενός αριθμού. Εκτός ίσως από τον σοφό πρώην καθηγητή και μέντορα του Μαξ.

Η “κατασκευή” της ταινίας αποτελεί ένα πραγματικό άθλο που αποδεικνύει περίτρανα ότι το πάθος και οι ιδέες είναι σημαντικότερα από τα χρήματα. Το δωμάτιο του ήρωα (βγαλμένο θαρρείς από γερμανική εξπρεσιονιστική ταινία) που αποτέλεσε και το βασικό πλατό της ταινίας, στήθηκε σε μια παρατημένη αποθήκη σε μια κακόφημη συνοικία της Νέας Υόρκης. Τα γυρίσματα στον υπόγειο έγιναν λαθραία τις ώρες μη λειτουργίας του, καθώς η άδεια απαιτούσε 18000 δολάρια που δεν υπήρχαν. Η ασπρόμαυρη φωτογραφία είναι φτιαγμένη με διαφορετικούς τύπους φιλμ αφού τα πενιχρά οικονομικά οδήγησαν στην αναζήτηση παλιού στοκ ακόμη και ληγμένου, το αποτέλεσμα όμως είναι αλησμόνητο. Οι ηθοποιοί και τεχνικοί πληρώθηκαν το βασικό μισθό, συμφωνώντας να πάρουν έξτρα αμοιβή αν η ταινία αποκτούσε διανομή στο λεγόμενο εμπορικό κύκλωμα.

Συνολικό budget περίπου 140.000 δολάρια. Αποτέλεσμα, 5.000.000 δολάρια εισπράξεις μόνο στην Αμερική και -πάνω από όλα- διθυραμβικές κριτικές σε όλο τον κόσμο. Στα συν η εκπληκτική μουσική -στο φοβερό soundtrack συμμετέχουν, μεταξύ άλλων, οι Orbital και οι Massive Attack- ιδανική υπόκρουση σε αυτή την φρενιτιώδη χορογραφία της ανθρώπινης παράκρουσης.

Πηγές:

http://el.wikipedia.org

http://www.kiosterakis.gr

http://users.uoa.gr/~nektar/science/history/pi_constant.htm

http://www.wlearn.gr/

http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf

http://www.thefullwiki.org/Archimedes